ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC

GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

Số tiết: 45 tiết.

Số tín chỉ: 3.

Giới thiệu môn học

Giải tích không trơn giải quyết các bài toán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường. Hai lớp hàm quan trọng được xét ở đây là lớp hàm lồi và lớp hàm Lipchitz.

Có nhiều cách để giải quyết những bài toán như vậy. Những cách phổ biến nhất có thể kể đến việc xây dựng các lý thuyết xoay quanh các đại lượng thay thế cho đạo hàm thông thường ví dụ như là: generalized gradients và Jacobians, proximal subgradients, subdifferentials, generalized directional (hay Dini) derivates, cùng với tangent và normal cones. Giải tích không trơn đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán ứng dụng như tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, cơ học và lý thuyết điều khiển. Những người có đóng góp nhiều cho ngành này gồm J. Borwein, A. D. Ioffe, B. Mordukhovich, R. T. Rockafellar, R. B. Vinter…

Mục đích của môn học

Môn học nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về môn giải tích không trơn.

Sau khóa học, sinh viên sẽ có một cái nhìn cơ bản nhưng khá bao quát về ngành giải tích không trơn để có thể nghiên cứu sâu hoặc ứng dụng vào các bài toán của từng chuyên ngành. Về những hướng đi cụ thể hơn, xin các sinh viên có thể gặp và hỏi thêm những chuyên gia trong ngành có ở trường chúng ta: Thày Phan Quốc Khánh (Bộ môn Tối ưu), Cô Nguyễn Thị Thu Vân (Bộ môn Giải tích) và Thày Dương Minh Đức (Bộ môn Giải tích)

Yêu cầu môn học

Môn học yêu cầu sinh viên có các kiến thức cơ bản của môn giải tích hàm một biến và môn giải tích cơ sở của khoa toán tin trường ĐHKHTN: khái niệm tập đóng, tập mở, hội tụ, hàm số liên tục, nửa liên tục dưới, không gian đầy đủ, tính compắc, limsup, liminf…

Khuyến khích mọi sinh viên thỏa mãn yêu cầu trên, đặc biệt các sinh viên theo hoặc dự định theo ngành tối ưu, ngành giải tích nên học lớp này.

Đề cương môn học

- Các kiến thức chuẩn bị cho môn học (5 tiết)

- Giải tích biến phân trên lớp hàm lồi (8 tiết)

- Giải tích biến phân trên lớp hàm Lipschitz (8 tiết)

- Giải tích biến phân của Mordukhovich (8 tiết)

- Ứng dụng của giải tích biến phân trên lớp các bài toán tối ưu ràng buộc và bài toán cân bằng (8 tiết)

- Ứng dụng của giải tích biến phân trên lớp các bài toán điều khiển tối ưu (8 tiết)

Tài liệu tham khảo

(tài liệu tham khảo sẽ được cung cấp cho sinh viên dưới dạng file pdf và djvu, hoặc trực tiếp download từ các địa chỉ ghi bên dưới)

1. J.-P. AUBIN and H. FRANKOWSKA (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston, Massachusetts. (http://gigapedia.com/items/175649/set-valued-analysis--modern-birkh--user-classics-)
2. L. D. BERKOVITZ (1974), Optimal Control Theory, Springer, New York.
3. D. P. BERTSEKAS, A. NEDÍC and A. E. OZDAGLAR (2003), Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts. (http://gigapedia.com/items/175817/convex-analysis-and-optimization)

4. J. M. BORWEIN and Q. J. ZHU (2005) Techniques of Variational Analysis, Springer, NewYork. (http://gigapedia.com/items/66274/techniques-of-variational-analysis--cms-books-in-mathematics-)

5. F. H. CLARKE (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York. (http://gigapedia.com/items/211054/optimization-and-nonsmooth-analysis--classics-in-applied-mathematics-)
6. F. H. CLARKE, YU. S. LEDYAEV, R. J. STERN, P. R. WOLENSKI (1998), Nonsmooth Analysis and Control Theory, Springer, New York. (http://gigapedia.com/items/95626/nonsmooth-analysis-and-control-theory--graduate-texts-in-mathematics-vol--178-)
7. A. D. IOFFE and V. M. TIKHOMIROV (1968), Theory of Extremal Problems, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands.
8. G. G. MAGARIL-II’YAEV and V. M. TIKHOMIROV (2003), Convex analysis: Theory and Applications, American Mathematical Society. (http://gigapedia.com/items/111176/convex-analysis--theory-and-applications--translations-of-mathematical-monographs-)
9. B. S. MORDUKHOVICH (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation I: Basic Theory, Springer, Berlin. (http://gigapedia.com/items/70516/variational-analysis-and-generalized-differentiation-i--basic-theory--grundlehren-der-mathematischen-wissenschaften-)
10. B. S. MORDUKHOVICH (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation II: Applications, Springer, Berlin. (http://gigapedia.com/items/70534/variational-analysis-and-generalized-differentiation-ii--applications--grundlehren-der-mathematischen-wissenschaften-)
11. R. T. ROCKAFELLAR (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. (http://gigapedia.com/items/58346/convex-analysis--princeton-mathematical-series-)
12. R. T. ROCKAFELLAR and R. J-B. WETS (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin. (http://gigapedia.com/items/111455/variational-analysis--grundlehren-der-mathematischen-wissenschaften-)
13. E. ZEIDLER (1985), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications III: Variational Methods and Optimization, Springer, New York. (http://gigapedia.com/items/209941/nonlinear-functional-analysis-and-its-applications--part-3--variational-methods-and-optimization)